Способ подготовки ГИА

Как готовиться к ГИА

Как готовиться к ГИА? Часто этот вопрос становится серьёзной проблемой для школьника и родителей. Выбрать ли репетитора, найти курсы, или есть другой способ?  ...

Видео уроки ЕГЭ 2018 профильный уровень

Видео уроки ЕГЭ 2017Бесплатные видео уроки ЕГЭ 2018 по математике профильного уровня. Можно использовать для домашней подготовки или учителем для работы в классе ...

Видео уроки ЕГЭ 2018 база

Видео уроки ЕГЭ 2014 Видео уроки ЕГЭ 2018 по математике базовый уровень. Обучение всем приемам решения. Можно использовать для домашней подготовки или учителем для работы в классе ...

Видео уроки ОГЭ 2018 (ГИА)

Видеоуроки ГИАБесплатные видео уроки ОГЭ 2018 по математике (ГИА-9). Обучение всем приемам решения. Можно использовать для домашней подготовки или учителем для работы в классе ...

Результаты ЕГЭ

Результаты ЕГЭ Как подсчитывают результаты ЕГЭ? Как оцениваются ваши знания; что такое шкалирование; первичные и тестовые баллы? Давайте разберемся! ...

Подготовка к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 2008. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену / С.И. Колесникова

( 0 Голоса (ов) ) 

ЕГЭ 2008 Математика

Книга адресована прежде всего выпускникам, сдающим ЕГЭ, традиционные выпускные или вступительные экзамены, а также учителям и учащимся, начиная с 8 класса, руководителям факультативов.
В пособии собраны эффективные (не всегда стандартные) методы решения наиболее "проблемных" уравнений и неравенств алгебры, в нем содержится 20 тренировочных вариантов ЕГЭ,

часть задач для которых взята из вступительных экзаменов в МГУ и МФТИ. Приведены решения многих заданий, в том числе полностью двух вариантов, даны ответы на все задания.
Автор книги несколько десятилетий преподает математику в МФТИ, обладает большим опытом работы со старшеклассниками, преподает в заочной физико-математической школе МФТИ, более десяти лет работает в школе № 463 г. Москвы, является соросовским учителем.
Часть заданий, включенных в пособие, выходят за рамки школьной программы по математике и превышают уровень сложности ЕГЭ, о реальном уровне сложности которого можно судить по имеющимся в пособии демонстрационным вариантам ЕГЭ 2006-2007 гг.


Предисловие к новому изданию.........................       3
От автора.............................................       5
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ__________________
ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТИПОВ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА
Понятие равносильности уравнений и неравенств.........     13
Степень с рациональным показателем...................     17
Рациональные уравнения и неравенства.................     23
Квадратные уравнения.
Уравнения, сводящиеся к квадратным................      23
Уравнения вида (формула) и сводящиеся к ним     ....      26
Квадратные неравенства.
Метод интервалов для рациональных функций...........     28
Иррациональные уравнения ............................     33
Иррациональные неравенства...........................     39
Уравнения, содержащие модуль.........................     53
Неравенства, содержащие модуль.......................     58
Показательные и логарифмические уравнения...........     66
Введение. Основные свойства логарифма..................      66
Логарифмирование и потенцирование....................      70
Показательные уравнения...............-................      71
Логарифмические уравнения ............................      73
Метод интервалов для логарифмических
и показательных неравенств.............................      75
Показательные неравенства.............................     76
Логарифмические неравенства..........................     78
Сложная экспонента и логарифм с переменным основанием    85
Логарифмы с переменным основанием....................      90
Показательные неравенства с переменным основанием.....      93
Неравенства для логарифмов с переменным основанием ...      96
Тригонометрия........................................   106
Обратные тригонометрические функции..................    109
Основные виды тригонометрических уравнений
и способы их решения...................................    118
Элементы математического анализа.....................    131
Область определения функции...........................    131
Множество значений функции...........................    133
Основные понятия математического анализа
в курсе средней школы..................................    136
Производная функции и ее вычисление...................    139
Геометрический смысл производной функции в точке......    141
Возрастание и убывание функции на промежутке.
Экстремумы функций...................................    142
Неопределенный интеграл.
Площадь криволинейной трапеции.......................    150
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ__________________
ОБРАЗЦЫ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ВАРИАНТОВ ЕГЭ
Структура ЕГЭ (Единого государственного экзамена)
по математике.........................................    152
Демонстрационный вариант 2007 г.......................   166
Демонстрационный вариант 2006 г.......................   171
Вариант 1.............................................   175
Вариант 2.............................................   180
Вариант 3.............................................   184
Вариант 4.............................................   188
Вариант 5.............................................   192
Вариант 6.............................................   197
Вариант 7.............................................   200
Вариант 8.............................................   204
Вариант 9.............................................   208
Вариант 10.............................................   212
Вариант 11............................................   216
Вариант 12............................................   220
Вариант 13............................................   224
Вариант 14............................................   228
Вариант 15............................................   232
Вариант 16............................................   235
Вариант 17............................................   239
Вариант 18............................................   243
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ___________________
РЕШЕНИЯ
Решение варианта 1....................................   247
Решение варианта 12...................................   260
Решение избранных задач из других вариантов...........   271
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ_______________
ОТВЕТЫ...................................................    294


Дорогие выпускники! Всем вам предстоит сдавать выпускной экзамен на аттестат зрелости. Многим из вас придется сдавать вступительные экзамены в вузы. Некоторые из вас будут сдавать два этих экзамена одновременно - в виде Единого государственного экзамена - ЕГЭ. С каждым годом число выпускников, принимающих участие в сдаче ЕГЭ, увеличивается.
Известно, что вступительные экзамены в вузы имеют значительные различия в содержании проверяемого учебного материала. Это естественно, потому что в разных вузах в процессе обучения требуется разный объем знаний, например, по математике. ЕГЭ проводится, в частности, для того, чтобы уравнять шансы всех абитуриентов при поступлении в любой вуз.
Опыт проведения ЕГЭ говорит о том, что предварительное знакомство школьников со структурой ЕГЭ, содержанием и требованиями, которые предъявляются к оформлению решений и ответов, очень помогает при выполнении самого экзамена. Именно такую помощь и призвана оказать эта книга.
Трудность вступительных экзаменов в вузы для подавляющего большинства абитуриентов состоит в следующем.
1. Программа 10-11 классов очень сильно отличается от программы вступительных экзаменов: в школе в течение двух последних лет изучают элементы математического анализа, который школьники зачастую плохо осваивают. Материал изучается при полном отсутствии понятия предела. Поэтому школьник вынужден зазубривать все о производных, касательных, экстремумах, интегралах и т. д. Учителя вынуждены много времени уделять технике дифференцирования. В связи с этим времени на освоение тригонометрии, показательных и, особенно, логарифмических функций остается в обрез. Задач на эти темы решается мало, а уж повышенной трудности тем более. Поэтому школьники, собирающиеся поступать в вузы, начинают игнорировать элементы математического анализа и серьезно берутся за алгебру и геометрию. Вытянуть на равных то и другое очень трудно.
2.  К этому времени совершенно забыта планиметрия.
3.  Время, отведенное на повторение, опять уходит на экстремумы, критические точки и вычисление площадей с помощью интегралов, потому что это часто бывает на выпускных экзаменах. Мало времени уделяется повторению элементарных формул и решению уравнений тригонометрии. Нет времени и на тождественные преобразования алгебраических или тригонометрических выражений.
4. В школе дети практически не видят задач с параметрами.
5.  Корни уравнений чаще всего являются рациональными числами.

При подготовке к ЕГЭ у выпускника появляются новые трудности. Главное отличие ЕГЭ от выпускного экзамена по математике состоит в том, что при подготовке к сдаче ЕГЭ придется, как к вступительному экзамену, повторить весь материал, изучаемый в течение 7-11 классов. ЕГЭ-2007 предлагает выпускнику сразу 26 задач на 4 часа. При этом школьнику предлагается самому выбирать задания, с которыми он может справиться. Но ведь это уже очень трудная задача для учащегося, который привык стараться справиться с тем, что задано учителем. Кроме того, ни одно домашнее задание не содержало такого количества задач. Разве что репетиторы столько задают при подготовке в престижные вузы!
Вопрос. Может ли успевающий в школе учащийся получить 3 или даже 2?
Ответ. Да. Ведь при решении задач серии А ученик может получить верный ответ, но, по невнимательности или из-за волнения, долго искать нужный пункт, теряя при этом время, или просто случайно написать не тот, который имел в виду. При решении задач серии В по тем же причинам можно записать не тот ответ при абсолютно верно решенном задании.
Вопрос. Помогает ли наличие вариантов ответов в серии А при решении задач этой серии?
Ответ. Да. Потому что если задача, по-вашему, решена и вы нашли свой ответ среди предложенных только в одном пункте, то с хорошим настроением можно продолжать работать. Это несмотря на то, что 100%-й уверенности, что ваш ответ верен, нет, так как ответы записаны с учетом типичных ошибок, допускаемых школьниками при решении данного задания (может быть, именно эту ошибку вы и допустили!). Если же, наоборот, вашего ответа нет среди предложенных или ваш ответ встречается в нескольких пунктах, то надо собраться и делать задачу заново.
Вопрос. Стоит ли заглядывать в задачи серии С, не справившись с серией В?
Ответ. Стоит. Среди задач серии В могут быть более трудные именно для вас задачи (например, планиметрия, стереометрия, задачи с параметрами, нестандартные уравнения, решаемые только графически), чем некоторые задачи серии С.
Вопрос. Есть ли особенности при решении серии В?
Ответ. Да, конечно. Во-первых, теперь нет никаких ответов. Во-вторых, при правильном решении нельзя ошибаться в арифметике или просто сделать описку при решении, так как никто вашего решения не увидит, а ошибка в арифметике сводит на нет все ваши усилия - задача не засчитывается.
Вопрос. Чем отличаются задачи серии С от задач серии В?
Ответ. Во-первых, задачи могут быть несколько сложнее, чем в серии В. Но главное - их надо оформить так, как оформляют "медальные" работы.
Вопрос. Как получить хорошую отметку?
Ответ. Во-первых, к ЕГЭ надо готовиться по предмету, а во-вторых, психологически. Это связано с тем, что задания ЕГЭ могут быть сформулированы в непривычной для учащегося форме и, кроме того, большинство школьников должно смириться с тем, что все задачи они не решат в отведенное время. Сконцентрироваться надо на понятных для вас задачах, решать их спокойно и до конца, независимо от того, в какой серии они находятся.

Книга состоит из четырех частей.
Первая часть посвящена эффективным методам решения некоторых основных типов задач алгебры и анализа. При овладении этими методами школьник получит возможность не просто научиться решать многие типичные задачи, но решать их быстро, коротким способом, экономя экзаменационное время на более сложные (нестандартные задания).
В основном, в первой части нашей книги обсуждаются методы решения неравенств, позволяющие свести решения задач к классическому (школьному) методу интервалов для многочленов. Эта часть состоит их неравноценных параграфов.
В некоторых из них лишь напоминаются те или иные основные свойства - это касается, например, свойств степеней. В других - рассматриваются только те вопросы, которым в школе уделяется мало внимания, - это, например, понятие обратных тригонометрических функций, сложная экспонента и др.
Основное внимание уделяется методам решения неравенств. Эти методы не относятся к стандартным школьным, но позволяют многие неравенства решить быстро и красиво. Обобщенный метод интервалов является универсальным для решения неравенств, но он таит в себе неприятности: бывает трудно найти "пробную" точку, при выяснении знака сложной функции в "пробной" точке вычисления могут оказаться громоздкими, и в результате арифметической ошибки знак может оказаться неверным. В условиях вступительного экзамена на исправление такой ситуации, если даже абитуриент почувствовал это, времени нет.
Основную роль при решении всех наших задач будут играть равносильные переходы, о которых в школьном учебнике очень мало сведений. Однако иногда без них трудно обойтись, и тогда в методической литературе робко проскальзывают слова: равносильно, тождественное преобразование.  В книге приведено довольно много условий равносильности.
Благодаря этим условиям, основные уравнения и неравенства, содержащие модуль, мы будем решать, не раскрывая модуль, т. е. не обращая внимания на знаки выражений, входящих под знак модуля. Мы рассмотрим свойства логарифмов, которые необходимы для решения задач, но отсутствуют в большинстве учебников.
Отметим, что в первой части не разбираются методы решения задач по геометрии, текстовых и логических задач. Это связано с тем, что планиметрия и стереометрия требует отдельной и серьезной подготовки. Главное, надо повторить все формулы: ведь не известно, на какую тему дадут задачи. Они могут быть простыми, но выбор способа решения и необходимых формул требует времени. Среди заданий ЕГЭ таких относительно мало по сравнению с заданиями по алгебре и математическому анализу, к тому же задачи по геометрии не учитываются при выставлении оценки за школьный курс алгебры. Тем не менее, некоторые геометрические задачи решены в четвертой части книги.
Текстовые задачи школьники начинают решать практически с первого класса, но в это время не все к ним психологически готовы, так как для некоторых обучение математике и логике рассуждений дается по-разному, и страх перед такими задачами остается надолго. Выпускники уже взрослые люди, и им нечего бояться простых текстовых задач. Ну а сложные задачи или задачи на сообразительность в заданиях ЕГЭ встречаются редко, их, конечно, решат немногие, но они на них и рассчитаны.
Вторая часть содержит тренировочные варианты ЕГЭ, она выполняет информационную задачу, так как, во-первых,, она знакомит школьников со стилистикой заданий ЕГЭ, а во-вторых, дает возможность подготовиться к традиционному (не тестовому) экзамену в вузы с повышенными требованиями по математике, так как в основе части приведенных заданий лежат задачи вступительных экзаменов в два престижных вуза страны - МГУ и МФТИ. Уровень всех этих заданий, если включать задания серии С, достаточен для подготовки в любой вуз. Такой подход, как показало время, прошедшее с момента выхода первого издания, оправдал себя - в 2005-2007 годах появились, несколько изменившись, задачи вступительных экзаменов МГУ и МФТИ.
Предлагаемые тренировочные варианты не соответствуют точно структуре ЕГЭ в том смысле, что мы не стремились, например, помещать задачи на конкретные темы именно под тем же номером, как они встречались в ЕГЭ последних лет. Не следили мы за количеством задач на конкретную тему или за количеством тем, охваченных в варианте (не во всех вариантах, например, есть текстовые задачи). Мы следили за тем, чтобы совокупностью всех вариантов были охвачены все темы. В наших вариантах, например, довольно много задач, содержащих явно или неявно решение квадратных уравнений или неравенств, потому что в школе эти темы проходят наиболее полно и подробно. В трудных задачах с параметром очень часто решение сводится именно к квадратному уравнению или неравенству. В высшей школе тоже без этих знаний не обойтись.
Иногда задачи одного типа даны в разных формулировках. Например, "вычислите без таблиц", или "упростите", или "вычислите значение выражения" и т. д. Это сделано по той причине, что выпускник может встретиться с любой из этих формулировок.
При подготовке тренировочных вариантов разные авторы отдают предпочтение тем или другим типам задач, готовят основной вариант, а затем несколько аналогичных. Составители утверждают, что задания для ЕГЭ составляются в расчете на ограниченное число формул, которые должны быть прочно усвоены. Но выбор этих формул очень зависит от пристрастий составляющих, точно так же, как задания вступительных экзаменов различных вузов или задания выпускных экзаменов разных городов отличаются друг от друга (что естественно, так как требования по математике к будущим программистам или, например, ветеринарам разные).
Наше пособие отличается от тех, в которых даются рекомендации по подготовке к ЕГЭ. В данной работе приведено 20 тренировочных вариантов, включая демонстрационные варианты 2006 и 2007 гг., среди которых нет основного варианта. Не все задания различных тренировочных вариантов аналогичны. В варианты включены самые разные задачи, чаще всего встречающиеся на выпускных или вступительных экзаменах. Они отличаются большим разнообразием идей и необходимостью применять очень разные методы решений. Это должно помочь каждому учащемуся подготовиться к любому варианту ЕГЭ, к вступительным экзаменам в любой вуз страны на любой факультет и одновременно оценить самостоятельно уровень своей подготовки.
В третьей части книги приводятся решения всех заданий двух вариантов и разобраны некоторые задания из других вариантов. Решения задач оформлены с равносильными переходами, с которыми не все привыкли работать, но не спешите отложить эти решения в сторону. Внимательно всмотритесь в написанное и, сначала не обращая внимания на значок <=>, прочитайте решение, потом постарайтесь, если хотите, решить по-своему. Переход от одного соотношения к равносильному связан, как правило, с некоторыми преобразованиями заданных выражений или вычислениями (например, квадратных выражений). Эти преобразования видны, если внимательно сравнить исходное и равносильное соотношение. Мы приводим решения задач и для того, чтобы было видно, как иногда они красивы или громоздки, иногда очень просты или, наоборот, сложны. Некоторые задачи можно решать несколькими способами. Если есть время, можно не заботиться о выборе способа решения, но если время в дефиците, то придется выбирать оптимальный способ.
 
Четвертая часть содержит ответы на все задания всех вариантов.
Книга адресована прежде всего, конечно, выпускникам, но может оказаться также полезной для работы в классах с углубленным изучением математики начиная с 8 класса, когда дети впервые всерьез начинают работать с модулем, и просто для тех школьников, которые хотят научиться решать задачи наиболее простыми способами. Она может служить прекрасным дополнением к обычному школьному учебнику, а также сможет помочь в проведении факультативных занятий-
Для тех, кто хочет глубже заниматься математикой или просто познакомиться с требованиями мехмата МГУ или физтеха, надо особенно обратить внимание на задания серии С. Кто-то их решать будет самостоятельно и проверять свои силы, оценивая свою возможность поступления в престижные вузы (с повышенными требованиями по математике), для других это будет очень трудно - тогда разберите наши решения, они многому смогут научить. Задания серии С настоящего ЕГЭ, думается, будут, в основном, проще многих предложенных.
Желаем всем удачи!



Вы здесь: ЕГЭ I ГИА Подготовка к ЕГЭ Материалы к ЕГЭ Математика ЕГЭ 2008. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену / С.И. Колесникова